Pemodelan Perkembangan Penyakit Tumbuhan dalam Waktu: Model Monomolekuler, Logistik, dan Gompertz

Pada tulisan sebelumnya saya sudah menyinggung bahwa untuk memastikan apakah suatu penyakit merupakan penyakit polisiklik atau penyakit monosiklik diperlukan pemodelan (modelling) untuk membuat suatu model. Sebenarnya apa iru model? Model dapat berarti banyak hal, tetapi dalam kaitan dengan perkembangan penyakit berarti model matematis berupa persamaan yang menghubungkan sejumlah peubah (variabel, variable). Bahkan model matematis sekalipun sebenarnya bukan merupakan konsep tunggal, melainkan dapat terdiri atas berbagai jenis model matematis. Di antara berbagai jenis model matematis tersebut, jenis model yang umum digunakan untuk memodelkan perkembangan penyakit tumbuhan adalah model yang dinyatakan dalam bentuk persamaan, baik persamaan diferensial maupun persamaan integral. Penggunaan pemodelan untuk menjelaskan perkembangan penyakit tumbuhan dilakukan pertama kali oleh J.E. van der Plank, yang kemudian melahirkan konsep penyakit bunga tunggal (penyakit monosiklik) dan penyakit bunga majemuk (penyakit polisiklik).

Jika sejumlah uang, Y₀, didepositokan selama satu tahun dengan bunga r per tahun maka pada akhir tahun jumlah uang yang diterima deposan adalah: Y_t=Y₀(1+rt)(Persamaan 1). van der Plank menggunakan persamaan bunga tunggal tersebut (Persamaan 1) untuk menganalogikan penyakit-penyakit yang menginfeksi tanaman hanya dengan inokulum primer, sedangkan inokulum sekunder tidak dapat menginfeksi tanaman yang sama karena tanaman sudah dipanen atau karena sebab-sebab lain. Dalam hal ini, inokulum awal seakan-akan “didepositokan berjangka” dengan jangka waktu selama satu musim tanam. Tetapi pada perkembangan penyakit, yang mula-mula didepositokan bukanlah penyakit, melainkan inokulum sehingga Persamaan 1 harus dinyatakan dalam kaitan dengan inokulum menjadi: Y_t=QRt (Persamaan 2), di mana Q menyatakan jumlah inokulum primer dan R menyatakan efikasi inokulum primer. Jika setelah selang waktu t deposito masih diteruskan maka pada selang waktu t+1 bunga yang diperoleh selama selang waktu t akan ditambahkan sebagai modal sehingga pada waktu t>1, jumlah uang dan bunganya menjadi: Y_t=Y₀(1+r)t (Persamaan 3), di mana r menyatakan tingkat bunga. Untuk selang waktu t yang sangat kecil, Persamaan 3 berubah menjadi: Y_t=Y₀e^rt (Persamaan 4), di mana e merupakan bilangan asli. van der Plank menggunakan Persamaan 4 untuk menerangkan perkembangan penyakit dengan inokulum sekunder yang kembali dapat menginfeksi tanaman pada musim tanam yang sama.

van der Plank menyadari bahwa terdapat perbedaan yang sangat mendasar antara pendepositoan uang di bank dengan perkembangan penyakit. Perbedaan tersebut berkaitan dengan kenyataan bahwa permukaan tanaman yang telah terinfeksi tidak dapat terinfeksi lagi. Menghadapi kenyataan tersebut, van der Plank menggunakan faktor koreksi (1-Y) terhadap turunan tingkat pertama dari persamaan perkembangan penyakit menurut model bunga tunggal dari dy/dt=QR menjadi dy/dt=QR(1-Y) (Persamaan 5). Dalam hal ini Y menyatakan bagian dari permukaan tanaman yang telah bergejala penyakit sehingga tidak lagi tersedia untuk diinfeksi oleh inokulum sekunder. Karena jumlah inokulum primer Q dan efikasi inokulum primer R menentukan laju perkembangan penyakit maka Persamaan 5 dapat dituliskan menjadi: dy/dt=r(1-Y)(Persamaan 5a). Koreksi juga perlu dilakukan terhadap turunan tingkat pertama dari persamaan perkembangan penyakit menurut model bunga majemuk dari dy/dt=rY menjadi dy/dt=rY(1-Y) (Persamaan 6). Dalam hal ini dy/dt menyatakan laju konsentrasi inokulum, kejadian atau keparahan penyakit, atau peluang infeksi berubah seiring dengan bertambahnya waktu. Pada kedua persamaan terakhir ini, r menyatakan laju intrinsik perkembangan penyakit, dalam satuan proporsi/satuan waktu, yang menyatakan derajat kemiringan kurva perkembangan penyakit (semakin tinggi kemiringannya berarti semakin cepat penyakit berkembang). Bentuk integral dari kedua persamaan diferensial tersebut adalah Y_t=1-Bexp(r_Mt) (Persamaan 7) dan Y_t=1/{1+B[exp(-r_Lt)]} (Persamaan 8). Pada kedua persamaan terakhir ini, B merupakan tetapan, exp menyatakan perpangkatan dengan bilangan dasar e (pangkat x terhadap e atau e^x ditulis menjadi exp(x)), dan M dan L merupakan kode untuk menyatakan r (laju) untuk perkembangan secara monomulekuler dan secara logistik.

Merujuk pada proses penurunan persamaan di atas, persamaan monomolekuler menjadi persamaan untuk memodelkan perkembangan penyakit-penyakit bunga tunggal (penyakit monosiklik) dan persamaan logistik untuk memodelkan penyakit-penyakit bunga majemuk (penyakit polisiklik). Kedua persamaan tersebut merupakan persamaan non-linier karena mempunyai peubah waktu t sebagai pangkat. Untuk memudahkan penggunaan kedua persamaan tersebut untuk menyuai data (to fit data), persamaan monomolekuler ditransformasikan ke dalam bentuk linier menjadi ln[1/(1-Y_t)=ln[1/(1-Y₀)+r_Mt (Persamaan 9) dan persamaan logistik ditransformasikan ke dalam bentuk linier menjadi ln[Y_t/(1-Y_t)=ln[Y₀/(1-Y₀)+r_Lt (Persamaan 10). Transformasi data insidensi atau keparahan penyakit dengan menggunakan persamaan Y_t=ln[1/(1-Y_t)] disebut transformasi monit, sedangkan transformasi data insidensi atau keparahan penyakit dengan menggunakan persamaan Y_t=ln[Y_t/(1-Y_t)] disebut transformasi logit. Untuk melakukan kedua transformasi ini, data kejadian atau keparahan penyakit harus terlebih dahulu diubah dari persentase menjadi proporsi.

Dalam penerapan untuk menyuai data perkembangan penyakit kemudian ternyata bahwa tidak semua penyakit bunga majemuk (penyakit polisiklik) dapat disuai datanya dengan menggunakan persamaan logistik. Hal ini terjadi karena tidak semua penyakit bunga majemuk (penyakit polisiklik) berkembang dengan kurva perkembangan yang menyerupai kurva logistik. Perkembangan penyakit-penyakit bunga berbunga (penyakit polisiklik) seperti ini dapat dimodelkan dengan menyuai persamaan Gompertz yang persamaan differensialnya dy/dt=r_Gy[-ln(y)] (Persamaan 11a), persamaan integralnya Y_t=exp[ln(y₀)exp(-r_Gt)] (Persamaan 11b), dan transformasi linier persamaan integralnya -ln[-ln(Y_t)]=-ln[-ln(Y₀)]+r_Gt (Persamaan 11c). Transformasi data insidensi atau keparahan penyakit dengan menggunakan persamaan Y_t=-ln[-ln(y)] disebut transformasi gompit. Dengan demikian, perkembangan penyakit bunga berbunga (penyakit polisiklik) tidak hanya dapat dimodelkan dengan menggunakan persamaan logistik, tetapi juga dengan menggunakan persamaan Gompertz.

Penyuaian model terhadap data perkembangan penyakit dalam waktu dilakukan dengan tujuan untuk menentukan apakah penyakit yang data kejadian atau keparahannya diukur merupakan penyakit bunga tunggal (penyakit monosiklik) atau penyakit bunga majemuk (penyakit polisiklik). Selain itu, pemodelan perkembangan penyakit dalam waktu juga dilakukan untuk menentukan parameter laju intrinsik perkembangan penyakit, yaitu laju per satuan penyakit per satuan waktu. Persamaan ln[1/(1-Y_t) = ln[1/(1-Y₀)+r_Mt, persamaan ln[Y_t/(1-Y_t)=ln[Y₀/(1-Y₀)+r_Lt, dan permasaan -ln[-ln(y)]=-ln[-ln(y₀)+r_Gt dapat disederhanakan penulisannya berturut-turut menjadi monit(Y_t) = monit(Y₀)+r_Mt, logit(Y_t) = logit(Y₀)+r_Lt, dan gompit(Y_t) = gompit(Y₀)+r_Gt. Ketiga persamaan tersebut identik dengan persamaan regresi linier sederhana derajat satu Y_i=b₀+b₁X_i sebagai berikut:

• ln[1/(1-Y_t)], Y_i=ln[Y_t/(1-Y_t)], dan -ln[-ln(Y_t)] menyatakan Y_i; 
• ln[1/(1-Y₀), ln[Y₀/(1-Y₀)], dan -ln[-ln(Y₀)] menyatakan b₀
• r_M, tau r_L, dan r_G menyatakan b₁ 

Dengan kata lain, pada persamaan regresi Y_i=b₀+b₁X_i hasil analisis regresi terhadap data hasil transformasi monit, logit, maupun gompit, parameter b₁ menyatakan laju intrinsik perkembangan penyakit sesuai dengan transformasi yang digunakan.

Untuk melakukan penyuaian model terhadap data tersebut dilakukan analisis regresi linier setelah data kejadian atau keparahan penyakit yang dinyatakan sebagai proporsi terlebih dahulu ditransformasikan dengan transformasi monit, logit, dan gompit. Dalam hal ini analisis regresi merupakan satu teknik analisis statistika untuk menentukan hubungan antara satu peubah bergantung dengan satu atau beberapa peubah bebas. Dalam analisis regresi perkembangan penyakit, yang digunakan sebagai peubah bergantung adalah hasil transformasi monit, logit, atau gompit terhadap data proporsi kejadian atau keparahan penyakit, sedangkan yang digunakan sebagai peubah bebas adalah waktu t. Analisis regresi linier dapat dilakukan dengan menggunakan Add-ins Analysis ToolPak pada program aplikasi tabel lajur Excel. Namun demikian, analisis regresi sebaiknya dilakukan dengan menggunakan program aplikasi khusus statistika.

Tersedia banyak program aplikasi khusus statistika yang dapat digunakan untuk melakukan analisis regresi linier, baik yang berbayar maupun yang gratis. Program aplikasi khusus statistika berbayar yang sangat populer seperti Minitab, SPSS, dan SAS, semuanya dapat digunakan untuk melakukan analisis regresi linier. Tetapi semuanya merupakan program berbayar dan mahal, sedangkan universitas pun belum mampu menyediakannya untuk para dosen dan mahasiswanya sebagaimana universitas-universitas di negara maju. Oleh karena itu, daripada menggunakan versi bajakan, saya menyarakan untuk menggunakan program aplikasi statistika gratis. Anda dapat memilih program aplikasi statistika gratis StatPages.org, StatSci.org, atau Statcon. Di antara berbagai jenis program aplikasi statistika gratis yang ditawarkan, saya menyarankan program aplikasi statistika R yang dikembangkan oleh The R Project for Statistical Computing. Untuk mempelajari penggunaan R silahkan kunjungi Quick R, untuk mempelajari penggunaan R untuk melakukan analisis regresi silahkan klik Basic Statistics dan kemudian Multiple Regression dan Regression Diagnostics.

Situs Perhimpunan Fitopatologi Amerika (APS) menyediakan halaman khusus Ecology and Epidemiology in R mengenai penggunaan program aplikasi statistika R untuk melakukan analisis perkembangan penyakit. Halaman ini dimulai dengan pengantar ke lingkungan pemrograman R yang menguraikan cara memasang di komputer, penggunaan R sebagai kalkulator, melakukan pemorgraman untuk membuat obyek dan memberikan nilai, pembuatan grafik (termasuk tentu saja kurva), pemrograman untuk melakukan langkah berulang, pemrogram untuk memasukkan data, pemrograman fungsi, dan sebagainya. Bagian berikutnya adalah penggunaan R untuk menganalisis perkembangan penyakit dalam waktu, di antaranya dengan contoh untuk membuat kurva perkembangan penyakit dan menghitung luas daerah di bawah kurva, pembuatan kurva untuk melakukan pembandingan perkembangan penyakit, dan yang terpenting penggunaan untuk melakukan analisis regresi linier. Bagi Anda yang ingin melakukan analisis perkembangan penyakit pada taraf lebih lanjut, dibahas penggunaan R untuk melakukan analisis regresi non-linier dan pemodelan non-linier perkembangan penyakit disertai dengan contoh penerapan untuk memodelkan perkembangan penyakit kanker jeruk dan perkembangan penyakit mosaik ubi kayu. Penggunaan R untuk melakukan analisis perkembangan penyakit dalam ruang akan saya uraikan pada tulisan berikutnya.

Lalu untuk apa bersusah-susah menyuai model untuk menganalisis perkembangan penyakit tumbuhan? Setelah mengetahui laju perkembangan intrisik r dan pola perkembangan penyakit polisiklik atau monosiklik, lalu apa? Sebenarnya, mengetahui laju perkembangan intrinsik r dan pola perkembangan penyakit bermanfaat untuk mengevaluasi keberhasilan tindakan pengendalian penyakit. Sebagai contoh, pemodelan perkembangan penyakit dilakukan untuk mengevaluasi keberhasilan pertanaman tumpangsari untuk mengendalikan penyakit mosaik ubi kayu.

Perkembangan penyakit mosaik pada tanaman ubi kayu yang ditanam secara monokultur dan tumpangsari dengan jagung, kacang tunggak, dan jagung+kacang tunggak.

Hasil pemodelan menunjukkan bahwa menanam jagung secara tumpangsari dengan tanaman lain dapat mengendalikan penyakit mosaik ubi jalar (menyebabkan r menjadi rendah), khususnya tumpangsari dengan jagung dan kacang tunggak.

Melalui tulisan ini saya berharap dapat membantu menjelaskan cara untuk menentukan laju perkembangan dan pola perkembangan penyakit dengan menggunakan pendekatan pemodelan. Melalui pemodelan dapat ditentukan laju perkembangan penyakit sebagai laju intrinsik logistik dan gompertz untuk penyakit bunga majemuk (penyakit polisiklik) dan sebagai laju intrinsik monomolekuler untuk penyakit bunga tunggal (penyakit monosiklik). Untuk menentukan apakah suatu penyakit berkembang secara polisiklik atau secara monosiklik maka dilakukan penyuaian bentuk linier dari model molekuler, logistik, dan gompertz terhadap data kejadian atau keparahan penyakit yang tersedia. Penyuaian dilakukan melalui analisis regresi linier dengan menggunakan program aplikasi khusus statistika, di antaranya program aplikasi statistika gratis R. Program aplikasi ini juga dapat digunakan untuk melakukan penyuaian model non-linier. Penyuaian model perkembangan penyakit, selain untuk menentukan laju intrinsik dan pola perkembangan penyakit, dapat digunakan untuk mengevaluasi keberhasilan tindakan pengendalian penyakit.

Revisi terakhir dilakukan pada 24 Maret 2014

Hak cipta tulisan ini dilindungi berdasarkan Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License.

Untuk memahami tulisan singkat ini secara lebih tuntas, silahkan klik setiap tautan yang tersedia. Bila Anda masih mempunyai pertanyaan, silahkan sampaikan melalui kotak komentar di bawah ini.